UZUNCA GEOMETRİ TARİHİ          

(bu yazı ortaokul ve lise öğrencileri için ‘Öklid Dışı (non-Euclidean@Öklidyen Olmayan) Geometriler’ alt başlığına kadar uygun.Ondan sonrası ünv. ve daha üst seviye)

Bilim adamları ve öğretmenler meslek olarak seçtikleri alanın geçmişine yönelik genel kültüre sahipseler kendilerini daha yetkin hissederler, daha öz güvenli olurlar; araştırma ve öğretimde daha faydalı olacakları gibi gelecekte yapılabilecekleri de daha kolay sezmeğe ve görmeye başlarlar. Bu nedenle konuşmamın ilk kısmını bu konuya ayırdım. Bilindiği gibi bilim tarihi içinde matematiksel gelişmelerin yeri ve önemi çok büyüktür. Matematiğin orijininde de iki temel alan vardır: ARİTMETİK ve GEOMETRİ. Burada tarih boyunca geometrideki buluş ve gelişmeleri kronolojik bilgilerden bir derleme biçiminde vereceğiz.

İnsanoğlunun dünyada oluşumu M.Ö. 2 000 000 lu yıllar olarak hesaplanmakta ve kabullenilmektedir. İlk insanların uzun asırlar, hatta uzun milleniumlar boyunca çok ilkel bir yaşam sürdürdükleri bilinmektedir. Ancak M.Ö 50 000 li yıllarda sayma belirtilerine rastlanmış izleyen milleniumlar içinde (M.Ö. 25 000 li yıllar) taşlara işlenmiş primitif geometrik şekiller tespit edilmiştir. (Bu dönemin tarihte Kaba Taş Çağı olduğunu hatırlayalım!). Daha sonra tarım sayesinde yerleşik yaşam yaygınlaşıyor, Maden Çağında (M.Ö. 4000 li yıllar) ilerleme ve medenileşme sürüyor. Gerçek gelişme yazının ve rakamların icadı (Mezapotamya da M.Ö. 3000 ler) ile oluyor. Mezapotamya da SÜMERLER, onları izleyen BABİL ve AKADLAR (M.Ö. 3500-2000 periyodunda) geometri adına şunları biliyorlardı:

Üçgen ve çokgenlerin ALANLARININ hesaplanması

Pisagor Teoremi (M.Ö. 1600-1900 arasında yazılan Plimpton tabletinde Pisagor üçlülerini kapsayan tablolar var. İspata rastlanmasa bile Pisagordan en az bin yıl önce bu teoremi biliyorlardı.)

Bir çok basit geometrik cismin hacmini veren formüller

Kesik kare piramidin hacmini veren formül

"Çapı gören çevre açı diktir" teoremi (Bu ifade de Thales Teoremi diye bilinir. Oysa Thales'den yaklaşık 1000 yıl önce biliniyor).

Ne Mezapotamyalılar ne de biraz sonra söz edeceğimiz eski Mısırlılar AÇININ ÖLÇÜLMESİNİ tam olarak geliştiremediler. Ancak yapı kirişlerinin eğimi hesabında KOTANJANTA benzer bir kavram geliştirmişlerdi. π yerine yaklaşık değerler kullanılıyordu.

Geometrinin orijinin Mısır olduğuna ilişkin yaygın fakat YANLIŞ bir kanaat (ve birçok kaynak!) vardır. Oysa Mısırdaki matematiksel gelişmeler, Mezapotamyadakileri yaklaşık 500 yıl sonradan izlemiştir. (Bu yanlış bilginin kaynağı Mezapotamyadaki BABİL TABLETLERİNİN şifrelerinin çok geç, ancak 130 yıl önce çözülmeye başlamasıdır). Mısırlılar bu kavramlar dışında

GEOMETRİK EŞLİK kavramını kullandılar

M.Ö. 2800 lerde BÜYÜK PİRAMİDİ inşa ettiler [kare piramidi, (taban çevresi/yükseklik)≈2π, Güneş ışınlarının hareketine göre şifreli iç yapısı gibi önemli özellikleri var].

İnsanoğlu yazının icadından hemen sonra tekerleği icat edince (M.Ö. 3000) ulaşım ve ticarette ulaşılan kolaylıkların sağladığı gelişmeler sayesinde π(pi) sayının varlığı ile karşılaştı. Çember, daire, kare, silindir gibi basit geometrik şekillerle ilgili olan bu harika sayı tamamen geometri orjinlidir. (r yarıçaplı çember için, =çevre/2r= Π alan/r nin karesi). Π üzerinde Mezapotamyalılar, Mısırlılar, Çinliler, Hintliler, Helenler, ve hatta 1600 lü yıllardan itibaren bir çok büyük matematikçi uğraşmışlardır. İrrasyonelliği 1767 J. F. Lambert tarafından ve transandant bir sayı olduğu çok sonraları (1882 de Alman matematikçi F. Lindemann tarafından) ispatlanmıştır.

Geometrideki gelişmeler, daha sonra Batı Anadolu da devam etmektedir. Grek genişlemesi ile Mısır ve Mezapotamyadan öğrenilen bilgiler Miletli Tales (M.Ö. 595) ve hemşerisi Pisagor (M.Ö. 540) tarafından işlenmiş ve geliştirilmiştir. Tales ve Pisagor'un DEDAKTİF GEOMETRİ çalışmalarından hiçbir belge bugüne ulaşmamıştır. Ancak özellikle Pisagor öğrendiklerini ve bildiklerini bir çeşit okul kurarak skolarlarına aktarmıştır. Bu dönemde İSPATLI GEOMETRİye geçilmiştir. Daha sonra gelişmeler, Trakya, Mora yarımadası ve İtalya'ya yaygınlaştı. Cetvel ve Pergel yardımıyla;

Bir çemberinin alanına eşit alanlı kare çizmek

Açıyı üçe bölmek

Küpün hacmini iki katına büyütmek

gibi klasik problemler ve benzerleri bu dönemde (M.Ö. 4. asırda) çalışılmıştır. (bu problemlerin izleyen asırda cebirsel eğriler yardımıyla çözüldüğü biliniyor). Geometri o kadar önem kazanmıştı ki geometriye doğrudan hiçbir katkısı olmayan Platon kurduğu okulun kapısına BURAYA GEOMETRİ BİLMEYEN GİREMEZ yazısını koydurdu. Sonra Eudemus (M.Ö. 335) GEOMETRİ TARİHİni yazdı, Aristeaus (M.Ö. 320) KONİKLER konusunu ayrıntılı inceledi.

M.Ö. 323 de Büyük İskender'in ölümü ile üçe parçalanan Roma İmparatorluğunun Mısır kesiminde I. Ptolemi döneminde bilimin yeniden şahlanmasını sağlayan gelişmeler oldu. İskenderiye'de tamamen serbest eğitim veren okullar kuruldu. Öklid M.Ö. 300 lerde ELEMENTLER adlı eserleri yazdı. Bu eserler üzerine çok şey söylenebilir. Bugün bile ilköğretim ve liselerimizde okutulan bilgilerimizin hemen hemen tamamı bu eserlerde vardır. Tales, Pisagor ve Pisagoryanlarca ispat edilmiş geometrik ifadeler bu dönemde mükemmelleştirildi. Plato okulundan yetiştiği sanılan ve iyi bir yazar olan Öklid'in adı bu eserlerle yaşamaktadır. Daha sonra M.Ö. 140 da Hiperkus, ilk düzenli TRİGONOMETRİ eserini yazdı, Heron birinci yüzyılda bazı formüller geliştirdi ve geometriye dayalı birçok icatlar yaptı. Pappus M.S. 320 de Pappus teoremini de kapsayan KOLEKSİYONU yazdı. (Pappus teoremi altıgenlerle ilgili bir özellik olarak ispatlanıyor, ama bugün Projektif geometride önemli bir role sahip bir aksiyom olarak bile kullanılmaktadır).

1143 yılında ELEMENTLERin batı dillerine çevrildiği ve izleyen dönemlerde yavaş yavaş okullarda sistematik olarak okutulduğu görülüyor. 1635 de Cavalieri GEOMETRİ adlı eserini yayınlıyor, 1637 de Descartes ANALİTİK GEOMETRİyi keşfediyor. 1639 ve 1640 da sırayla Desargues ve Pascal bugün kendi adlarıyla bilinen teoremlerini de kapsayan eserlerini yayınlıyorlar. 1678 de Ceva TEOREMİnin ispatı veriliyor.

1670 de HİPERBOLİK GEOMETRİNİN ortaya atılışı, 1794 de Legendre'nin GEOMETRİNİN ELEMANLARI, 1801 de Gauss'un PARALELLİK kavramı üzerine çalışmaları, 1826 da Poncale ve Plucker'in geometride DUALLİK İLKESİ, 1827 de Mobius, Plucker ve Feurbach'ın HOMOGEN KOORDİNATLARI işleyişleri gerçekleşiyor.

1822 de Poncale'nin bugün kendi adıyla anılan teoremlerinide kapsayan DENEMELER adlı eseri yayınladı. Kazan üniversitesinden Lobacevski'nin 1829 da yayınlanan çalışmaları ve bu konuda daha önce aynı sonuçlara ulaştığı ve ispatlar anlaşılan Macar Bolyai'nin çalışmaları ile ÇOK PARALELLİ (=hiperbolik) GEOMETRİLERİN VARLIĞI görüldü.

1843 de 4-boyutlu uzayın vektör cebri ile ilgili olarak Hamilton KUATERNİYONLARI keşfedildi ki bu kavram bugün en ilginç ve somut (Dezargsel fakat Pappussel olmayan) projektif düzlemlerden birini inşa etmekte kullanılmaktadır.

Daha sonraki yıllarda ses getiren eserler olarak 1847 de Von staudt'un GEOMETRİ DER LAGE'si, 1854 de Riemann'ın HABITATIONSCHRIFT'i, 1872 de Klein'in yayınları ve son olarak 1889 da Hilbert'in GRUNDLAGEN DER GEOMETRİ'si görülüyor. Bu son eser çok önemlidir onun üzerine daha sonra konuşulacaktır.

Düzenli geometrik şekiller tarihsel olarak nerelerde görülmektedir sorusunu yanıtlayarak bu kısmı bitirelim: Gelişme ve medenileşmeye başlayan toplumlarda ilk düzgün geometrik şekiller, sırayla, tarla ve bağlar gibi bölünerek işlenen arazi parçalarında; tapınaklar, sinagoglar, katedral-kilise ve cami gibi toplu ibadet yerlerinde; su kanalları, köprüler, kervansaraylar gibi ulaşımla ilgili yapılarda; han, kral, padişah ve imparator sarayları, Türbeler, Firavun Mezarları ve şehir surları gibi yapılarda; ve günümüzde her türlü mimari eser ve çok sayıda modern teknik araçlarda görülmektedir.

Öklid Dışı (non-Euclidean@Öklidyen Olmayan) Geometriler

Kısalığı sağlamak için izleyen iki kısımda sadece düzlem geometri üzerinde durulacaktır. Öklid düzlemi yada kısaca düzlem denilince, herkesin anlayacağı bir dille söylersek, her doğrultuda sınırsız uzayan düz pürüzsüz yüzey kastedilir. Noktalar ve doğrulardan oluşan düzlemde nokta ve doğrularla ilgili bazı ifadelerin geçerlilikleri ispata gerek duyulmadan kabul edilirler. AKSİYOM denilen ve doğal olarak sağlandığı varsayılan bu ifadelerin ispatı (aşikar olduğundan) mümkün değildir. Geometri de kabullanilen aksiyomların SONUÇLARI incelenir. Öklid Düzleminin Aksiyomları EK-1 de verildiği gibidir.

Zaman içinde Öklid'in V. POSTULAT'ı Playfair aksiyomu adıyla daha kısa ve özlü olrak; düzlemde bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen bir tek paralel doğru çizilebilir biçiminde ifade edilmiştir. Öklid dönemi ve öncesinde, bu ifadeye "kesin olarak geçerli" denilemediği, yani şüphe edildiği, içindir ki aksiyom olarak değil, postulat olarak ifade edilmiştir. Gerçekten de GAUSS da dahil bir çok büyük matematikçiler bu ifadeyi ispatlamaya çalışmışlardır. Ancak 1820 lerin sonunda Bolyai ve Lobacevski V. Postulatın diğer aksiyomların sonucu olmadığını; bu postulat dışındaki bazı Öklid Aksiyomlarıyla birlikte

H:Bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen iki (yada daha çok sayıda) paralel doğru çizilebilir

ifadesi alınarak yeni bir geometri oluşturulabileceğini gösterdiler. Böylece hiperbolik geometri, dolayısıyla ÖKLİD DIŞI GEOMETRİ kavramı ortaya çıktı. Öklid aksiyomlarını sağlayan bir tek düzlem varken Bolyai-Lobacevski aksiyomlarını gerçekleştiren bir çok reel model geliştirilmiştir. Bunların bir kaçını belirtelim:

Taksi Düzlemi

Klein Modeli

Maksimum Düzlem Modeli

Poincare Üst Yarı Düzlem Modeli

Poincare disk Modeli

......

Gauss ve Riemann'ın çalışmaları ile hiperbolik geometrideki gelişmeleri değerlendirerek

P : Farklı iki doğru bir tek noktada kesişir

ifadesini ve bazı Öklid aksiyomları ele alınarak PROJEKTİF GEOMETRİ (ve genelde Eliptik Geometri) geliştirildi. Üstelik, sonsuz çoklukta projektif düzlem bulundu. Bugüne kadar bu konuda milyonlarca araştırma (makale), yüzlerce kitap yazıldı ve hala çözülmeyi bekleyen çok sayıda önemli problemler vardır. Böylece V. Postulat, H ve P nin hepsinin ayrı ayrı geçerli olduğu geometriler ortaya çıktı.

Öklid'in elementlerindeki aksiyomlarda var olan bazı belirsizlikler ve eksiklikler, uzun yıllar boyunca bilinmesine karşın, aynen kullanılmışlardır. Ancak Hilbert 1889 da çağının bilgileriyle Öklid düzlemin aksiyomlarını yeniden düzenlemiştir. GRUNDLAGEN DER GEOMETRİ adlı eserdeki bu aksiyom sistemi EK-2 de verilmiştir.

Artık Öklid düzlemi için, tüm matematik dünyasınca "mükemmel" olarak değerlendirilen bu aksiyom sistemi (Hilbert Düzenlemesi) geçerlidir denilebilir. Ancak 20. yüzyılda çağdaş matematik bilgileri göz önüne alınarak daha kısa ve daha rafine bir aksiyom sistemi oluşturulmuştur. F. Krause'nin TAXICAB GEOMETRY adlı kitabından aldığım ve son zamanlarda Öklid düzlem geometrisi (SMSG geometrisi dahil) işleyen birçok eser de kullanılan Birkhoff'un METRİK AKSİYOMLARININ bir modifikasyonu olan bu aksiyom sistemi EK-3 de verilmiştir.

Bu aksiyom sistemlerinin karlılaştırılmasını ilgilenenlere bırakarak konumuzu biraz değiştirelim.

3. Öklid Dışı Geometri Anlayışında Değişiklik

Tarihsel olarak, paralellik aksiyomunu sağlamayan her Geometri Öklid dışı bir geometri olarak bilinmektedir. Fakat artık Hilbert (veya eş anlamlı olarak Birkhoff) tarafından verilen aksiyomlardan "en az birini sağlamayan bir geometri Öklidyen olmayan bir geometridir" anlayışı yerleşmiş bulunmaktadır. Örneğin, Taksi geometri, KRAUSE düzenlemesindeki paralellik aksiyomu dahil 12 aksiyomun hepsini sağlayan fakat sadece KAKÜçgenlerde Eşlik) Aksiyomunu sağlamayan bir geometridir. Dolayısıyla Öklidyen olmayan geometriler spektrumu oldukça büyük hale gelmiştir. Bu konuda daha başka örnekler, projektif, hiperbolik veya metrik geometrilerden kolaylıkla hemen verilebilir.

Geometri ve Öklid Dışı Geometrilerin Öğretimdeki Yeri ve Önemi

Olayların algılanmasında resim, fotoğraf, grafik gibi şekillerin önemi yadsınamaz. Bir anlamda şekil bilgisi de demek olan geometri matematik öğretiminde yerine hiçbir şey konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir. Okuttuğum bir çok derste öğrencilerime şunu tekrar tekrar söylüyorum: Matematikte hiçbir kavram yoktur ki uygun bir şekille anlatılamasın. Eğer bir konuyu iyi biliyorsanız onu uygun bir şekille açıklayabilirsiniz. Şekille açıklayamadığınız yani, geometrik yorumunu yapamadığınız bir konuyu iyi bilmiyorsunuz demektir. Dilerseniz bana bu konuda herhangi bir matematik kavramını sorabilir ve geometrik açıklama isteyebilirsiniz! Bu sebebledir ki son yirmi beş yıldaki tüm derslerimde anlattığım her konuda temsili şekiller çizmeği alışkanlık haline getirdim. Çünkü görmek anlamayı kolaylaştırır (İngilizce'de "anlıyorum" anlamında da "görüyorum" ifadesinin sıkça kullanılması boşuna değil!). Ülkemizde ilk ve orta öğretimde (hatta birkaçı hariç üniversitelerimizde) Öklid geometrisi ve onun uzantıları olan afin uzaylar ve differensiyel geometri konuları incelenir. Öklid dışı geometrilerin de sadece varlığından bir kaç cümle ile söz edilir. Oysa benzerlik, farklılık, aykırılık ve zıtlığın öğretimdeki büyük rolü inkar edilemez. Çünkü kötüyü bilmeden iyiyi, çirkini bilmeden güzeli, kısa kavramını belirlemeden uzun kavramını anlamlandıramazsınız. Yine birbirine çok benzeyen iki şeyi ayırabilmek için farklılıklarını ortaya koymak gerekir. Gelelim Öklid dışı geometrilere. Kanatimce Öklid dışı geometrilerin sadece varlığından söz edip bırakmak oldukça sakıncalıdır. Nitekim, ABD ve bazı uzak doğu ülkelerinde orta öğretim programları Öklid dışı geometrilerden bazı örneklemelerle -basitleştirilerek- donatılmaktadır. Öğretmen yetiştiren öğretim kurumlarında Öklid dışı geometriler ve Elementer projektif geometri mutlaka okutulmaktadır. 1980 öncesi yıllarda "Eğitim Enstitüsü" adı altında öğretim yapan okulların programlarında elemanter projektif geometri dersi vardı ama okutacak öğretmen yoktu. Bugün ilk ve orta öğretimde görev yapan öğretmenlerimizin yüzde doksan dokuzunun yukarıda saydığım konularda yetersiz ve donatımsız olduğu bir gerçektir. Bunun sebebi öğretmenlerimiz değil fakat yeterli kadrolara sahip olmayan yüksek öğretim kurumlarımız ve bizleriz. Konuşmacınız bunun bilincine ancak ellili yaşlarında ulaşmıştır ve bu boşluk ve eksikliği kendi çapında gidermek için bazı gayretler içindedir. Şu anki tebliğ de bu düşüncenin eseridir.

Burada şu sorular sorulabilir: Öklid dışı geometrilerin orta öğretimle ilgisi nedir? Bunlar hangi kapsamda ve nasıl anlatılabilir? Mevcut eksiklikler nasıl giderilir?

Soruların kısa cevabı kanaatimce şöyle özetlenebilir:

Son sorudan başlarsak, eksikliklerin giderilmesi için öğretmen yetiştiren yüksek öğretim kurumlarında Öklid geometrisi ve Öklidyen olmayan geometrilerin okutulması gerekir.

Son elli yılda artık EK-3 de sunulan (Metrik yaklaşımlı) aksiyom sistemi kullanılmaktadır. Oysa gerek taksi geometri, gerek maksimum metriği ile geliştirilen geometride Öklid düzlemi ile aynı nokta ve doğru kümeleri kullanılmakta, açılar da aynı yolla ölçülebilmektedir. Bunların her ikiside 13 aksiyomdan 12 tanesini sağlamakta sadece Kenar-Açı-Kenar (KAK) aksiyomununda aykırılık göstermektedir. Sonuç olarak KAK aksiyomunun da Öklidyen geometri için kritik ve belirleyici aksiyom olduğu görülmektedir. Buradaki önemli husus, Öklidyen geometride birçok başka kavramlarıda belirlemekte ve tanımlamakta kullanılan UZAKLIK kavramının tanımından ortaya çıktığının öğretici tarafından iyi bilinmesidir. O, öğrenciye pedagojik nedenlerle bu yeni modelleri tamamen veremese bile kendince örnekler düzenleyebilir. Aşağıdaki konular orta öğretimde basitleştirilerek örneklerle öğrenciye verilebilir:

Düzlem Taksi geometrisi tanıtılır, modern yaşamdaki çok sayıdaki uygulamaları verilir. Öklidyen düzlem geometrinin 13 aksiyomundan 12 tanesini sağladığı fakat sadece KAK aksiyomunun sağlanmadığı -aşağıdakine benzer bir örnekle- gösterilebilir.

Öklid geometrisinde "C, A ile B arasında Û d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" arada olma aksiyomu bir çok metrik geometride gerli değildir. Örneğin; (1,-1)

"arada olma" yı daha belirlemek için metrik yaklaşımda "C, A ile B arasında ve CÎ Û d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" biçiminde geliştirilmiştir.

Öklid düzleminin istenilen kadar büyük yarıçaplı fakat gerektiğinde sınırlı bir bölgede yaşam uygulaması mümkün kılan Klein Modeli tanıtılarak Öklid dışı geometri kolayca anlatılabilir.





- Bu modelde paralellik nasıl tanımlanır?

- Paralel olmayan ve kesişmeyen doğrular var mı?

- Paralellik aksiyomu dışındaki aksiyomlar sağlanır mı?

gibi sorulara cevap aranabilir.

Poincare'nin yarı düzlem hiperbolik geometrisi tanıtılır. Paralellik aksiyomunun sağlanmadığı, üçgenin iç açıları toplamının 180 den küçük olduğu kolaylıkla gösterilebilir.

KAYNAKLAR

1. W. W. R. Ball, Ashort Account of the History of Mathematics Dover Pub, Inc., New York.

2. C. B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley&Sous, New York (1968).

3. S. R. Clemens, Non-Euclidean Distance, Mathematics Teacher, ? , 595-600 (1971).

4. D. Hilbert, Foundations of Geometry (Grundlagen Der Geometri nin İngilizce Tercümesi), Open Court Pub. Comp. (1950).

5. R. Kaya, Projektif Geometri, Anadolu Üniversitesi yayını (1992).

6. F. Krause, Taxicab Geometry, An adventure in Non-Euclidean Geometry, Dover Pub., Inc. New York (1975).

7. G. E. Martin, Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane

8. R. S. Millman-G. D. Parker, Geometry, A Metric Approach with Models, Springer Verlag, Berlin (1991).

9. School Mathematics Study Group, Geometry, Pasedena, California.

10. S. Stahl, The Poincare Half-Plane, Jones and Barlett Pub., Boston.




EK-1: ÖKLİD AKSİYOMU ve POSTULATLARI



Öklid ELEMENTLER adlı 13 kitaptan oluşan eserlerinden ilk 4 tanesinde düzlem geometriyi incelemektedir.Öklidyen geometrinin aksiyom ve postulat adıyla anılan iki tür varsayımı vardır, ve bu iki kavram arasındaki FARK daima soru ve tartışma konusu olmuştur. Greekçe' den alınan axioma ( önemli, değerli, yakışır, uygun) sözcüğü tamamen aşikar, doğruluğundan şüphe olmayan ifade anlamında kullanılırken; postulat sözcüğü doğru olduğu kabul edilebilen ifade yada başka bir deyimle doğruluğu çok aşikar olmayan fakat geçerli olduğu varsayılan ifade anlamında kullanılmıştır. Bugün matematikte böyle ifadeler arasında ayırım yapmaksızın hepsi aksiyom olarak, temel ön kabuller olarak, alınmaktadır. Öklid aksiyom ve postulatlarını tam yansıtmak için onları orijinaline uygun ingilizce ifadeleriyle vermeği tercih ediyorum:



AKSİYOMLAR



[1] Things which are equal to the same thing are also equal to one another.

[2] If equals added to equals, the whole are equal.

[3] If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.

[4] Things which coincide with one another are equal to one another.

[5] The whole is greather than the part.



POSTULATLAR



[1] To draw a line from any point to any point.

[2] To produce a finite straight line continuously in a straight line.

[3] To describe a circle with a circle with any center and distance.

[4] That all right angles are equal to one another.

[5] That, if a straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side of which are the angles less than the two right angles.



Not: Öklid aksiyom ve postulatlarında görülebilen eksiklik ve muğlaklıkların bir çoğu, yine önceden verilen 23 tanımla kısmen takviye edilerek tamamlanmaya çalışılmıştır.



KAYNAK: "Euclid's Elements, book I." olarak internetten bakılabilir.


EK-2:ÖKLİDYEN DÜZLEM AKSİYOMLARININ

D.Hilbert TARAFINDAN YENİDEN DÜZENLENMİŞİ



I - KONUM (Connection or Incidence) AKSİYOMLARI



[1] Birbirinden farklı iki nokta üzerinde en az bir doğru vardır. (Farklı iki noktadan en az bir doğru geçer).

[2] Birbirinden farklı iki nokta üzerinde en çok bir doğru vardır. (Farklı iki noktadan en çok bir doğru geçer).

[3] Her doğru üzerinde en az iki nokta, ve dışında en az bir nokta vardır.



II - ARA (Order) AKSİYOMLARI



[APB], P noktasının A ile B arasında olduğunu göstermek üzere:

[1] [APB] ise A, P, B noktaları farklı olup doğrudaştır ve [BPA] dır.

[2] Farklı ve doğrudaş olan üç noktadan ancak birisi öteki ikisi arasındadır.

[3] A ve B bir l doğrusu üzerinde farklı iki nokta ise, l üzerinde [ABP] olacak biçimde en az bir P noktası vardır.

[4] (PASCH aksiyomu) A, B, C doğrudaş olmayan üç nokta ise ve ABC düzleminin, A, B, C nin hiçbirinden geçmeyen bir l doğrusu (BC), (CA), (AB) açık doğru parçalarından birini keserse, öteki ikisinden bir tekini de keser.



III - EŞLİK (Congruence) AKSİYOMLARI



[1] [AB] bir doğru parçası, ve [A´P herhangi bir ışın ise, bir ucu A´ de, öteki ucu ışın üzerinde olan ve [AB] ye eş bulunan bir tek [A´B´] doğru parçası vardır.

[2] Doğru parçaları için eşlik bağıntısı geçişkendir, yani

.

[3] [APB] ve [A´P´B´] için

.



[pq], p ve q ışınlarının oluşturduğu açıyı;

[prq], [pq] açısının bir iç noktası R iken r = [OR ışınının p ile q nun arasında kaldığını;

[lP, düzlemde l doğrusu ile birlikte, l nin dışındaki P noktasını üzerinde bulunduran yarı düzlemi (düzlem-ışın) göstermek üzere:



[4] [hk] bir açı, ve [lP hrhangi bir kenarı l üzerinde, öteki kenarı düzlem-ışın üzerinde olan ve [hk] ye eş bulunan bir tek [h´k´] açısı vardır.

[5] Açılar için eşlik bağıntısı geçişkendir, yani

.

[6] [hrk], [h´r´k´] için

.

Üçgenlerde eşliğin KAK tanımı: Aralarında gibi bir eşleme kurulmuş olan iki üçgende karşılıklı ikişer kenar birbirine eş ise ve ayrıca bu kenarlar arasındaki açılar da eş ise bu iki üçgene eş üçgenler denir.

[7] Birbirine eş olan iki üçgende karşılıklı taban açıları eştir.



IV - ÖKLİD PARALELLİK (Parallel) AKSİYOMU



Başka iki doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğru ile aynı tarafta, toplamları den küçük açılar oluşturursa, iki doğru bu açıların bulunduğu tarafta kesişirler.



V - SÜREKLİLİK (Continuity) AKSİYOMLARI



[1] (ARCHIMEDES veya CANTOR aksiyomu) bir l doğrusu üzerinde içiçe doğru parçaları ise, l üzerinde, kendisine göre, bütün ler aynı tarafta ve bütün ler ters tarafta olacak biçimde bir P noktası vardır.

[2] (Tamlık Aksiyomu) Nokta, doğru (ve düzlemlerin) oluşturduğu sisteme, bu beş grup aksiyomun hepsine uyan yeni bir geometri oluşturacak şekilde başka elemanlar eklemek mümkün değildir. Başka bir deyimle, geometrinin elemanları, beş aksiyom grubu sağlandığı sürece, şüphe kabul etmeyen bir sistem oluşturur.

KAYNAKLAR

1- David Hilbert, Foundations of Geometry, Open Court Pub. C., 1950.

2- Hüseyin Demir, Öklid Geometrisi, ODTÜ, 1987.



EK-3: ÖKLİDYEN DÜZLEM GEOMETERİ AKSİYOMLARI

(METRİK YAKLAŞIM)



"Öklidyen düzlem geometri";

- P; noktalar kümesi,

- L; P nin alt kümelerinin bir ailesi olan doğrular,

- m; açı ölçme fonksiyonu,

- ; uzaklık fonksiyonu,

olmak üzere aşağıda verilen onüç aksiyomu sağlayan [P,L, ,m] matematiksel sistem olarak düşünülebilir. ( Bu onüç aksiyom antik çağda Öklid tarafından bulunan modern bir aksiyomlar kümesinin, bugün indirgenmiş son şeklidir).



İlk iki aksiyom üzerinde olma aksiyomları olarak bilinir.



[1] Verilen iki noktayı içeren bir tek doğru vardır.

[2] Her doğru en az iki nokta içerir. P kümesi doğrusal olmayan en az üç nokta içerir.



Bunları izleyen dört aksiyom uzaklık fonksiyonunun pozitif tanımlı, simetrik ve üçgen

eşitsizliğini sağladığını gösterir. Ayrıca cetvel aksiyomu denilen aksiyom sağlanır.

Detaylı olarak, için bu dört aksiyom aşağıdaki gibidir.

[3] Her sıralı (A,B) nokta çifti için (A,B) sayısını belirtir. Ayrıca (A,B)=0 olması için gerek ve yeter koşul A=B olmasıdır.

[4] (A,B)= (B,A) dir.

[5] (A,B)+ (B,C)> (A,C) dir.

[6] Verilen bir L doğrusu fL:L!R bire-bir ve örten fonksiyonu vardır öyleki L üzerindeki tüm A, B noktaları için;

|fL(A) - fL(B)|= (A,B)

olur.



Şimdiki aksiyom düzlem ayırma aksiyomudur.



[7] Verilen bir L doğrusu için P nin H1 veH2 gibi yarı düzlem olarak adlandırılan iki alt kümesi vardır öyleki,

(i) H1 veH2 konvekstir;

(ii) H1 [H2 = P - L (P den L nin atılmışı demektir);

(iii) A2H1 ve B2H2 ise \L ¹ Æ.

olur.



Şimdi vereceğimiz dört açı-ölçme aksiyomu bir bütün oluşturur.



[8] m, her bir açı için 0 ile 180 arasında değişen bir reel sayı değeri ile belirtir.

[9] H yarı düzleminin kenarı üzerinde bir ışını ve 0 ile 180 arasında herhangi bir r reel sayısı verilsin. Bu durumda P2H olmak üzere mÐPAB = r olacak şekilde bir tek ışını vardır.

[10] Eğer D noktası ÐABC nin iç bölgesinde ise

mÐABD + mÐDBC = mÐABC

dir.

[11] Eğer B noktası, A ile C arasında ve DÏ ise,

mÐABD+mÐDBC = 180

dir.

Sıradaki aksiyom [P,L, ,m] sisteminin kenar - açı - kenar aksiyomudur.

[12] İki üçgenin köşe noktaları arasında bire-bir bir eşleme verilsin. Eğer birinci üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, ikinci üçgenin karşılık gelen kenarlarına ve açıya eş ise bu eşleme bir eşlik (çakışma) dir.                 www.matematikgeometri.com